Все новости



























































































































































































































































География посетителей

sem40 statistic
«    Август 2017    »
ПнВтСрЧтПтСбВс
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
 

Доказательство длиною в век

Математический институт Клэя присудил Григорию Перельману Премию тысячелетия (Millennium Prize), тем самым официально признав верным доказательство гипотезы Пуанкаре, выполненное российским математиком.

Примечательно, что при этом институту пришлось нарушить собственные правила - по ним на получение примерно миллиона долларов, именно таков размер премии, может претендовать только автор, опубликовавший свои работы в рецензируемых журналах. Работа Григория Перельмана формально так и не увидела свет - она осталась набором нескольких препринтов на сайте arXiv.org (один, два и три). Впрочем, не так важно, что стало причиной решения института - присуждение Премии тысячелетия ставит точку в истории длиной более чем в 100 лет.

Кружка, пончик и немного топологии

Прежде чем выяснить, в чем состоит гипотеза Пуанкаре, необходимо разобраться, что это за раздел математики - топология, - к которому эта самая гипотеза относится. Топология многообразий занимается свойствами поверхностей, которые не меняются при определенных деформациях. Поясним на классическом примере. Предположим, что перед читателем лежит пончик и стоит пустая чашка. С точки зрения геометрии и здравого смысла - это разные объекты хотя бы потому, что попить кофе из пончика не получится при всем желании.

Однако тополог скажет, что чашка и пончик - это одно и то же. И объяснит это так: вообразим, что чашка и пончик представляют собой полые внутри поверхности, изготовленные из очень эластичного материала (математик бы сказал, что имеется пара компактных двумерных многообразий). Проведем умозрительный эксперимент: сначала раздуем дно чашки, а потом ее ручку, после чего она превратится в тор (именно так математически называется форма пончика). Посмотреть, как примерно выглядит этот процесс можно тут.

Разумеется, у пытливого читателя возникает вопрос: раз поверхности можно мять, то как же их различать? Ведь, например, интуитивно понятно - как ни мни тор, без разрывов и склеек сферу из него не получишь. Тут в игру вступают так называемые инварианты - характеристики поверхности, которые не меняются при деформации, - понятие, необходимое для формулировки гипотезы Пуанкаре.

Здравый смысл подсказывает нам, что тор от сферы отличает дырка. Однако дырка - понятие далеко не математическое, поэтому его надо формализовать. Делается это так - представим, что на поверхности у нас имеется очень тонкая эластичная нить, образующая петлю (саму поверхность в этом умозрительном опыте, в отличие от предыдущего, считаем твердой). Будем двигать петлю, не отрывая ее от поверхности и не разрывая. Если нить можно стянуть до очень маленького кружочка (почти точки), то говорят, что петля стягиваема. В противном случае петля называется нестягиваемой.

Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема (как это примерно выглядит, можно посмотреть тут), а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть. На этой картинке примеры нестягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно. Когда на поверхности есть петли, математики говорят, что "фундаментальная группа многообразия нетривиальна", а если таких петель нет - то тривиальна.

Теперь, чтобы честно сформулировать гипотезу Пуанкаре, любознательному читателю осталось потерпеть еще немного: надо разобраться, что такое трехмерное многообразие в общем и трехмерная сфера в частности.

Вернемся на секундочку к поверхностям, которые мы обсуждали выше. Каждую из них можно разрезать на такие мелкие кусочки, что каждый будет почти напоминать кусочек плоскости. Так как у плоскости всего два измерения, то говорят, что и многообразие двумерно. Трехмерное многообразие - это такая поверхность, которую можно разрезать на мелкие кусочки, каждый из которых очень похож на кусочек обычного трехмерного пространства.

Главным "действующим лицом" гипотезы является трехмерная сфера. Представить себе трехмерную сферу как аналог обычной сферы в четырехмерном пространстве, не потеряв при этом рассудок, все-таки, наверное, невозможно. Однако описать этот объект, так сказать, "по частям" достаточно легко. Все, кто видел глобус, знают, что обычную сферу можно склеить из северного и южного полушария по экватору. Так вот, трехмерная сфера склеивается из двух шаров (северного и южного) по сфере, которая представляет собой аналог экватора.

На трехмерных многообразиях можно рассмотреть такие же петли, какие мы брали на обычных поверхностях. Так вот, гипотеза Пуанкаре утверждает: "Если фундаментальная группа трехмерного многообразия тривиальна, то оно гомеоморфно сфере". Непонятное словосочетание "гомеоморфно сфере" в переводе на неформальный язык означает, что поверхность можно продеформировать в сферу.

Немного истории

Вообще говоря, в математике можно сформулировать большое количество сложных утверждений. Однако что делает ту или иную гипотезу великой, отличает ее от остальных? Как это ни странно, но великую гипотезу отличает большое количество неправильных доказательств, в каждом из которых есть по великой ошибке - неточности, которая зачастую приводит к возникновению целого нового раздела математики.

Так, изначально Анри Пуанкаре, который отличался помимо всего прочего умением совершать гениальные ошибки, сформулировал гипотезу немного в другом виде, чем мы написали выше. Спустя некоторое время он привел контрпример к своему утверждению, который стал известен как гомологическая 3-сфера Пуанкаре, и в 1904 году сформулировал гипотезу уже в современном виде. Сферу, кстати, совсем недавно ученые приспособили в астрофизике - оказалось, что Вселенная вполне может оказаться гомологической 3-сферой Пуанкаре.

Надо сказать, что особого ажиотажа среди коллег-геометров гипотеза не вызвала. Так было до 1934 года, когда британский математик Джон Генри Уайтхед представил свой вариант доказательства гипотезы. Очень скоро, однако, он сам нашел в рассуждениях ошибку, которая позже привела к возникновению целой теории многообразий Уайтхеда.

После этого за гипотезой постепенно закрепилась слава крайне сложной задачи. Многие великие математики пытались взять ее приступом. Например, американский Эр Аш Бинг (R.H.Bing), математик, у которого (абсолютно официально) вместо имени в документах были записаны инициалы. Он предпринял несколько безуспешных попыток доказать гипотезу, сформулировав в ходе этого процесса собственное утверждение - так называемую "гипотезу о свойстве П" (Property P conjecture). Примечательно, что это утверждение, которое рассматривалось Бингом как промежуточное, оказалось чуть ли не сложнее доказательства самой гипотезы Пуанкаре.

Были среди ученых и люди, положившие жизнь на доказательство этого математического факта. Например, известный математик греческого происхождения Кристос Папакириакопоулос. В течение более десяти лет, работая в Принстоне, он безуспешно пытался доказать гипотезу. Он умер от рака в 1976 году. Описанные работы - это далеко не полный список попыток решения более чем столетней гипотезы. И хотя каждая из работ и привела к возникновению целого направления в математике и может считаться в этом смысле успешной и значимой, доказать гипотезу Пуанкаре окончательно удалось только россиянину Григорию Перельману.

Перельман и доказательство

В 1992 году Григорий Перельман, тогда сотрудник математического института им. Стеклова, попал на лекцию Ричарда Гамильтона. Американский математик рассказывал о потоках Риччи - новом инструменте для изучения гипотезы геометризации Терстона - факта, из которого гипотеза Пуанкаре получалась как простое следствие. Эти потоки, построенные в некотором смысле по аналогии с уравнениями теплопереноса, заставляли поверхности с течением времени деформироваться примерно так же, как в начале этой статьи мы деформировали двумерные поверхности. Оказалось, что в некоторых случаях результатом такой деформации оказывался объект, структуру которого легко понять. Основная трудность заключалась в том, что во время деформации возникали особенности с бесконечной кривизной, аналогичные в некотором смысле черным дырам в астрофизике.

После лекции Перельман подошел к Гамильтону. Позже он рассказывал, что Ричард его приятно удивил: "Он улыбался и был очень терпелив. Он даже рассказал мне несколько фактов, которые были опубликованы спустя лишь несколько лет. Он сделал это без колебаний. Его открытость и доброта поразили меня. Не могу сказать, что большинство современных математиков ведет себя так."

После поездки в США Перельман вернулся в Россию, где принялся трудиться над решением проблемы особенностей потоков Риччи и доказательством гипотезы геометризации (а вовсе не над гипотезой Пуанкаре) втайне от всех. Ничего удивительного, что появление 11 ноября 2002 года первого препринта Перельмана повергло математическую общественность в шок. Спустя некоторое время появилась еще пара работ.

После этого Перельман самоустранился от обсуждения доказательств и даже, говорят, прекратил заниматься математикой. Он не прервал своего уединенного образа жизни даже в 2006 году, когда ему была присуждена Филдсовская премия - самая престижная награда для математиков. Причины такого поведения автора обсуждать не имеет смысла - гений имеет право вести себя странно (например, будучи в Америке Перельман не стриг ногти, позволяя им свободно расти). Как бы то ни было, доказательство Перельмана зажило отдельной от него жизнью: три препринта не давали покоя математикам современности. Первые результаты проверки идей российского математика появились в 2006 году - крупные геометры Брюс Кляйнер и Джон Лотт из Мичиганского университета опубликовали препринт собственной работы, по размерам больше напоминающей книгу - 213 страниц. В этой работе ученые тщательно проверили все выкладки Перельмана, подробно пояснив различные утверждения, которые в работе российского математика были лишь вскользь обозначены. Вердикт исследователей был однозначен: доказательство абсолютно верное.

Неожиданный поворот в этой истории наступил в июле этого же года. В журнале Asian Journal of Mathematics появилась статья китайских математиков Сипин Чжу и Хуайдун Цао под названием "Полное доказательство гипотезы геометризации Терстона и гипотезы Пуанкаре". В рамках этой работы результаты Перельмана рассматривались как важные, полезные, но исключительно промежуточные. Данная работа вызвала удивление у специалистов на Западе, однако получила очень одобрительные отзывы на Востоке. В частности, результаты поддержал Шинтан Яу - один из основоположников теории Калаби-Яу, положившей начало теории струн, - а также учитель Цао и Джу. По счастливому стечению обстоятельств именно Яу был главным редактором журнала Asian Journal of Mathematics, в котором была опубликована работа.

После этого математик стал ездить по миру с популярными лекциями, рассказывая о достижениях китайских математиков. В результате возникла опасность, что очень скоро результаты Перельмана и даже Гамильтона окажутся отодвинуты на второй план. Такое в истории математики случалось не раз - многие теоремы, носящие имена конкретных математиков, были придуманы совершенно другими людьми.

Однако этого не случилось и, вероятно, теперь не случится. Вручение премии Клэя Перельману (даже если тот откажется) навсегда закрепило в общественном сознании факт: российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. И неважно, что на самом деле он доказал факт более общий, развив по пути совершенно новую теорию особенностей потоков Риччи. Хотя бы так. Награда нашла героя.



Андрей Коняев, lenta.ru

  • 20-03-2010, 09:26
  • Просмотров: 1351
  • Комментариев: 22
  • Рейтинг статьи:
    • 0
     (голосов: 0)

Роман

20 марта 2010 11:54
Я рад за таких людей, которые не потеряли человеческий дух. Пусть этот парень служит для всех примером.
1

Владимир

20 марта 2010 13:39
Он памятник себе воздвиг нерукотворный...
2

Alex

20 марта 2010 19:12
А я читал, что китайцев очень больно ткнули носом и им даже пришлось извиниться.
3

ВЛАДИМИР

22 марта 2010 16:57
Выдающееся достижение, но с точки зрения российской пропаганды и воспитания чувства "патриотизма" значительно слабее, чем успех Билана на Евровидении
4

Mifa

23 марта 2010 13:04
Он таки решил отказаться от премии:"Самый умный человек в мире отказался от награды в миллион долларов за решение сложнейшей математической задачи"(статья на сайте новости@ mail.ru от 23.03.2010). Жаль, в той же статье пишут, что он живет очень бедно. Может быть, есть у кого-нибудь способ убедить его взять награду и жить в нормальных бытовых условиях?
5

Алексей

23 марта 2010 13:25
Alex ученик этого Сипин Джу (вроде бы) был против такого подлога. Он выступил против своего учителя, поддержав правоту и первостепенность доказательства Перельмана. В свою очередь, учитель отрекся от него и разорвал с ним всякие отношения. Он просто неверно рассчитал математические характеристики ямы, вырытой им для Перельмана и угодил в нее сам. Насчет китайских "гениев" хочу отметить всем известный факт копирования российской военной техники. К примеру, китайцы закупают СУ-27, там у себя их разбирают, изучают. А потом создают свой аналог, полностью повторяющий оригинал, и заявляют о своем авторстве. Это не беря в рассчет сотни миллионов единиц контрафакта одежды и электронной техники.
6

Joseph

23 марта 2010 17:28
Алексей - Специфика китайцев- очень хорошо копировать созданное кем -то. Кстати русские занимаются тем же с западной технологией, и идеями, но копируют не так аккуратно.
7

Red Herring

24 марта 2010 02:07
В статье не совсем правильно утверждается о правилах: дословно "refereed mathematics publication of worldwide repute (or such other form as the SAB shall determine qualifies)", т.е. Комиссия может счесть что и другая форма подходит. Яо (старший), который и катил бочку на ГП, кстати, член Комиссии, и очень хороший и оригинальный математик, но притом и большая сволочь, и не только по отношению к ГП. Его бывший ученик Ганг Тиан (тоже очень хороший и оригинальный математик) против него выступил, но тут разлад, по видимому, гораздо глубже. *** Кстати, не надо распространять глупости, что китайцы только копировать умеют.
8

Boris друго

24 марта 2010 19:44
Joseph, копировать - да, очень хорошо - нет.
9

Владимир

25 марта 2010 06:39
Согласен, нашему Президенту не грех бы пообщаться с Гением при жизни. А там бы и создать фонд Перельмана ( с согласия самого учёного) - для потдержания талантов и увековечивания имени великого Учёного. И о житие поговорить.
10

Сергей В.

26 марта 2010 14:02
Да он и с Медведом общаться откажется ... легко...Это ж Диоген-2 в бочке
11

Алекс

26 марта 2010 20:49
Важная поправка: да из России, но еврейский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. Вот что важно, "закрепить в общественном сознании". В росссийских печатных органах,никогда не забывают упомянуть или по крайней мере намекнуть на этническую принадлежность человека описывая негативную информацию, так не стоит этим пренебрегать и в этом случае.
12

Алексу

27 марта 2010 14:20
Пожалуйста проверься у докторов относительно паталогии желчного пузыря. У Тебя явно избыток желчи, а она часто попадает в голову, что очень опасно. А Перельман Еврейско - Русский Гений, ок!
13

DESNICA

29 марта 2010 21:27
Я хренеююю! Эиншеин - немецкий учёный, Перельман - Русский учёный... , а фигушки вам всем, явреи мы, явреи... А китайцы, даже самые лучшие из них тупее любого сибирского валенка. Это из моего богатого личного опыта.
14

Соломон

30 марта 2010 00:49
"Евреи мы, евреи..." - Эйнштейн, Перельман и Desnica.
15

Э. Севела

30 марта 2010 06:53
Между прочим , в стране, где я родился и где и поныне обитают славянские души, то есть в России, есть гнусный обычай. Если еврей чем-либо прославится, совершит поступок, достойный похвалы, и о нём заговорит пресса, вы никогда не найдёте и намёка на то, что речь идёт о еврее. Его будут называть русским или советским человеком, нашим славным соотечественником, но как чёрт ладана будут избегать упоминания о его еврейском происхождении. Но пусть попробует еврей оскандалиться, совершить что-либо непристойное, как в первую очередь укажут, что он - еврей, и повторят это неоднократно, чтоб никаких сомнений не осталось.
16

Дервиш

30 марта 2010 16:57
Господа! Для раввинов он не еврей, поскольку у него отец еврей - это первое. Второе - у него мать математик и она привила ему с детства интерес к сей науке. Третье - это доказательство того, что кровь надо смешивать. Ваши раввы против, значит вас ждет ... сами знаете что! 4-Владимир. Вы правы. Но причина такого явления в другом. Страна уже второе десятилетие катится вниз по уровню и качеству образования, воспитания. Кроме учёных мало кто знает или интересуется научными проблемами.Народ в основном выживает, а у олигархов совершенно другие интересы -воровать и вывозить всё, что можно из России. Нуворишам нужны деньги, а не доказательство гипотезы. И ещё в России привыкли к евреям, узнаем по внешнему облику.Обижаться тут нечего, например, вы не услышите, что В.Гафт или Хазанов, Э. Рязанов и многие другие евреи и не пишут. Это что-то у вас из детства!
17

Ирина Дерви

31 марта 2010 19:57
А для кого он еврей? Так у него и мать еврейка Любовь Лейбовна!!!!
18

Глеб

31 марта 2010 21:30
А знаете почему пишут : русский, советский, Российский? Потому что если каждый раз писать еврей, то все газеты будут состоять только из этого слова. Сегодня в России 60% олигархов, 50% шоу бизнеса и искусства, 20% чиновников, 20% учёных - евреи или выходцы из смешанных с евреями браков. Люди очень любимы народом и Властями. Я тут прочитал, что евреи и русские - один народ и знаете - поверил. Даже в США евреев держат как электорат и как личных жандармов на Ближнем востоке.
19

Дервиш

1 апреля 2010 07:56
Уважаемая Ирина! Подчеркнута же специально, что для рвввинов, поскольку Любовь Львовна тоже требует выяснения. Таким образом, Григорию пришлось бы проходить гиюр. И как Вы это представляете себе? Чтобы такой человек унижапся, да было бы перед кем! И ничего иного скрытого нет. Если мать осталась в России, а дочь уехала из Израиля, значит на это есть причины.
20

 

Информация

Комментировать новости на сайте возможно только в течении 180 дней со дня публикации.

    Друзья сайта SEM40
    наши доноры

  • 26 июня  Моше Немировский Россия (Второй раз)
  • 3 января Mikhail Reyfman США (Третий раз)
  • 26 декабря  Efim Mokov Германия
  • 25 ноября   Mikhail German США
  • 10 ноября   ILYA TULCHINSKY США
  • 8 ноября Valeriy Braziler Германия (Второй раз)

смотреть полный список